非齐次方程的特解怎么求，优先使用待定系数法和常数变易法；待定系数法适合右端项为多项式、指数、正弦余弦或者它们乘积的二阶常系数线性微分方程，计算量更小，考试使用频率更高，常数变易法不限制右端函数形式，但需要先求出对应齐次方程的两个线性无关解，还要计算积分，适合待定系数法无法匹配的复杂右端项，一阶、二阶常系数线性微分方程都可以套用。

待定系数法求非齐次方程特解

先写出二阶常系数线性非齐次微分方程标准形式$y''+py'+qy=f(x)$，解对应的特征方程$r^2+pr+q=0$，得到特征根。根据$f(x)$的形式预设特解结构，再把预设特解代入原方程，对比等式两边同类项系数，解出待定参数。

判定是否需要乘$x^k$是这一步的核心，$k$代表右端函数里的指数对应的参数是特征根的重数。不是特征根时，$k=0$；是单根时，$k=1$；是二重根时，$k=2$。

右端项f(x)预设特解形式
$P_m(x)e^{\lambdax}$$x^kQ_m(x)e^{\lambdax}$，$Q_m$同次多项式
$e^{\lambdax}[P_l\cos\omegax+P_n\sin\omegax]$$x^ke^{\lambdax}[R_m\cos\omegax+S_m\sin\omegax]$，$m=\max(l,n)$

举一个简单例子，方程$y''-2y'-3y=3x+1$，特征根$r_1=3,r_2=-1$，右端是一次多项式，$\lambda=0$不是特征根，直接设特解$y^*=ax+b$，求导后代入方程，对比系数算出$a=-1,b=1/3$，特解$y^*=-x+\frac13$。

这个方法的适用边界很明确，只能处理右端项为多项式、指数、正余弦及其组合的情况，$f(x)$是$\lnx$、$\tanx$这类函数时，预设特解结构失效，不能强行套用。

常数变易法求非齐次方程特解

先求解齐次方程$y''+py'+qy=0$，得到一组基础解系$y_1,y_2$，齐次通解是$Y=C_1y_1+C_2y_2$。把常数$C_1,C_2$换成未知函数$u_1(x),u_2(x)$，构造非齐次解$y^*=u_1y_1+u_2y_2$。

列方程组：$$\begin{cases}u_1'y_1+u_2'y_2=0\\u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x)\end{cases}$$先解出$u_1',u_2'$，再积分得到$u_1,u_2$，代入就能得到特解。计算时用到的朗斯基行列式$W=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}$，只要$y_1,y_2$线性无关，$W$不为0，方程组就有唯一解。

常数变易法通用性更强，不受右端函数类型限制，缺点是积分计算容易复杂，很多场景下积分结果无法写成初等函数。

一阶线性非齐次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的特解，也可以直接用常数变易法推导出来的积分公式计算，不用再重复解方程组。

特解只需要一个满足方程的解，不需要带任意常数，算出结果后可以直接代回原式验算，把特解代入方程左右两端，看数值是否相等，以此排查计算错误。

不要把特解和齐次通解混在一起，非齐次方程的通解=齐次通解+一个非齐次特解。